Transformaciones geométricas: HOMOLOGÍA

Homología es una relación geométrica espacial que relaciona figuras planas mediante las siguientes propiedades:

• Los puntos homólogos están alineados con un fijo llamado centro o vértice de homología .
• Las rectas homólogas se cortan en un punto de una recta fija llamada eje de la homología. Esta recta es la intersección de la prologación de los lados de las figuras homólogas.

Elementos de la Homología:

• C es el centro de la Homología.
• Eje es la recta intersección de los dos planos α y β, en los que están las dos figuras homólogas.
• Rectas Límite: L (primera recta límite) es la recta del plano α cuyos homólogos están en el infinito (son impropios), y K (segunda recta límite) es la recta del plano β cuyos homólogos están en el infinito (son impropios). A estas rectas límites también se les identifica como RL y RL’.
• La característica o constante de la Homología es un parámetro de la misma, y es igual a la razón doble de la cuaterna formada por dos puntos homólogos A-A’, el centro de la homología C y el punto de corte de la recta A-A’ con el eje.

Trazados de Homologías:

Para definir una homología plana, nos deben proporcionar los elementos mínimos que nos permitan obtener el centro, el eje y un par de puntos homólogos, lo que después posibilitará el hallar los homólogos del resto de los elementos de la figura, utilizando para ello las aristas de la figura o rectas auxiliares.

En los ejemplos siguientes se describen algunos procedimientos y las construcciones necesarios para ello.1.- Encontrar la homóloga r’ de una recta r, dados el centro C, el Eje y RL’:

2.- Encontrar el homólogo de un punto A, dado el centro de la homología C, el Eje y RL’:

3.- Encontrar la homóloga de una recta r paralela al eje, dado el centro C, el Eje y RL’:

4.- Encontrar las rectas límites de una homología, dado el centro C, el Eje y una pareja de puntos homólogos A y A’:

5.- Encontrar las rectas límites de una homología, dado el centro C, el Eje y una pareja de rectas homólogas r y r’: (La construcción es idéntica a la anterior. La paralela a una recta por el centro). 

6.- Encontrar los elementos de la homología dados tres pares de puntos homólogos A y A’, B y B’ y C y C’:

Homología de la circunferencia:

La homóloga de una circunferencia siempre es una curva cónica, pudiendo presentarse diferentes casos, según la relación de la curva con la recta límite. En cualquier caso, el centro de la circunferencia no se convierte en el centro de la cónica homóloga.

Si la primera recta límite no corta a la curva, la homóloga de la circunferencia es una elipse.

Si la primera recta límite es tangente a la curva, su homóloga es una parábola (ya que tiene un punto homólogo impropio).

Si la primera recta límite corta a la curva en dos puntos, su homóloga es una hipérbola, y cada una de las partes en que está dividida la circunferencia se convierte en una de las ramas de esa hipérbola.

Transformaciones geométricas: HOMOTECIA

HOMOTECIA

La Homotecia es una transformación geométrica en el plano, en la cual los puntos relacionados o transformados se denominan homotéticos, y cumplen las siguientes condiciones:

• Los puntos homotéticos están alineados con un tercero fijo llamado centro de la Homotecia (O).
• La relación entre los segmentos definidos por este centro y los puntos transformado y original es una constante denominada razón de la homotecia (k).

Propiedades:

Rectas homotéticas siempre son paralelas, y proporcionales a la razón de la homotecia (k) y ángulos homotéticos son iguales.

Dos figuras homotéticas guardan relación de semejanza.

Casos:

• Si la constante k es mayor que 0, la Homotecia se denomina directa o positiva, y en ella los puntos homotéticos están al mismo lado del centro.

• Si la constante k es menor que 0,  se denomina inversa o negativa, y en ella los puntos homotéticos están en lados diferentes con respecto al centro .

• Si la constante k es 1, la figura homotética coincide con la original, y la transformación se denomina identidad.
• Si la constante k es -1, la Homotecia se convierte en una Simetría Central 

Si el valor absoluto de la constante k es mayor que 1, la Homotecia produce un aumento de tamaño (la figura final es mayor que la original).

Si el valor absoluto de la constante k es menor que 1, la Homotecia produce una disminución de tamaño (la figura final es menor que la original).

Homotecia de la circunferencia:

La homotética de una circunferencia es otra circunferencia cuyos centros también lo son, y cuyos puntos son homotéticos uno a uno.

Dadas dos circunferencias cualesquiera, siempre existen dos Homotecias que las relacionan, una de ellas directa y otra inversa. En cualquiera de los dos casos, el centro de la Homotecia está alineado con los dos centros de las circunferencias (en las figuras se muestran las homotecias directa e inversa que relacionan dos circunferencias).

CONTROL 2.2 (DT II)

CONTROL 2.1 (DT II)

ENLACES

Enlace es la unión armónica de dos o más líneas curvas o rectas y curvas entre sí, por medio de tangencias dando una sensación continua.

En el enlace entre un arco de circunferencia y una recta, el radio del arco perpendicular a la recta determina en su intersección con esta el punto de tangencia entre ambas.

El enlace entre dos arcos tiene siempre su punto de tangencia en línea recta con los centros de ambos arcos.