TRAZADO DE POLÍGONOS REGULARES CONOCIENDO LA CIRCUNFERENCIA CIRCUNSCRITA
-Procedimiento general-
Para ello nos apoyamos en la división de dicha circunferencia en un número partes iguales.
Este procedimiento se utilizará solo cuando el polígono buscado no tenga una construcción particular, ni pueda obtenerse como múltiplo de otro, dado que este procedimiento lleva inherente una gran imprecisión.
Comenzaremos con el trazado del diámetro A-B, que dividiremos, mediante el Teorema de Tales en tantas partes iguales como lados tenga el polígono que deseamos trazar. Para ello trazaremos desde B una recta r cualquiera, sobre la que llevaremos las divisiones iguales. Uniremos la última división, con A, y por el resto de divisiones trazaremos paralelas a esta, obteniendo de esta forma, la división de la diagonal A-B en partes iguales.
Con centro en A y B trazaremos dos arcos de radio A-B, los cuales se interceptarán en un punto F, desde el que trazaremos una semirecta que haremos pasar por la división 2 hasta cortar la circunferencia dando lugar a la división buscada. Solo restaría trasladar esta distancia o división como lado para obtener el polígono buscado.
TRAZADO DE POLÍGONOS REGULARES CONOCIENDO EL LADO
-Procedimiento general-
Éste segundo método consiste en dibujar el hexágono regular del lado que te proporcionan y luego gracias al teorema de Tales obtienes los centros de las circunferencias que inscriben desde el heptágono al dodecágono (dividiendo el radio en 6 partes iguales). Si tiene más o menos lados, solo tienes que sumar o restar partes.
POLÍGONOS ESTRELLADOS
Si una circunferencia se divide en n partes y se unen sucesivamente estas divisiones (vértices), se obtiene un polígono regular convexo según hemos visto, pero si se unen de dos en dos, de 3 en 3, etc., estos vértices, los polígonos resultantes son cóncavos y estrellados.
GÉNERO ‘g’. Se denomina así al número de cuerdas o lados del polígono estrellado. El género coincide con el número de vértices del polígono por lo que un polígono estrellado se denomina igual que uno convexo (Con un género 5, pentágono estrellado = pentágono).
PASO ‘p’. Número de divisiones de la circunferencia, que comprende cada lado del polígono estrellado.
ESPECIE ‘e’. En base al paso se establecen diversas especies, 1ª especie, si se unen los vértices de dos en dos, de 2ª especie si lo hacemos de 3 en 3 etc.
POLÍGONOS ESTRELLADOS EN UN POLÍGONO REGULAR
El número de polígonos estrellados que tiene un polígono regular convexo es el número de cifras primas con él menores de su mitad. Estas cifras primas nos indican además el paso del polígono y por tanto su especie.Por ejemplo en el pentágono dividimos 5 entre dos (5/2 = 2.5) y observamos que el número 2 es menor que la mitad de 5 (2.5) y primo de 5 pues 5 no es divisible entre él. Podemos deducir por tanto que el pentágono tiene un solo polígono estrellado, y no solo eso sino que, además, su paso es 2 (se van tomando los vértices de 2 en 2) pues 2 es el número primo resultante de la operación. Y el polígono así obtenido será por tanto de 1ª especie.
Hexágono: 6/2 = 3; 3, 2 y 1 no son primos de 6 pues los tres lo dividen sin generar decimales. Por tanto el hexágono no tiene ningún polígono estrellado pues de su mitad a 1 no tiene primos.
Heptágono: 7/2 = 3.5; Y los números 3 y 2 son primos de 7. El heptágono tiene por tanto dos polígonos estrellados (los dos primos), y son de pasos 2 y 3, (o especies 1ª y 2ª respectivamente).
RELACIÓN DE POLÍGONOS ESTRELLADOS
El triángulo no tiene polígono estrellado.
El cuadrado no tiene polígono estrellado.
El pentágono uno de 1ª especie.
El hexágono ninguno.
El heptágono dos, de 1ª y 2ª especie.
El octógono uno, de 2ª especie.
El eneágono dos, de 1ª y 2ª especie.
El decágono uno, de 2ª especie, falla la regla: Tenemos 10/2 = 5, los números 4 y 3 son primos y menores que su mitad si bien solo podremos trazar un polígono estrellado de 2ª especie.
El endecágono (de once vértices), 4 polígonos estrellados, de 1ª, 2ª, 3ª y 4ª especie.
El dodecágono un estrellado, uniendo sus vértices de 5 en 5 o 4ª especie.
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