FIGURAS PLANAS EQUIVALENTES

EQUIVALENCIA

Decimos que dos figuras planas son equivalentes, cuando tienen distinta forma pero igual superficie.

Triángulo equivalente a otro dado:

Dividir un triángulo en dos partes equivalentes:

Cuadrado equivalente a la suma de otros dos:

Polígono equivalente a otro con un lado menos:

CONTROL 2.4 (DT II)

CURVAS COMPUESTAS: ESPIRAL

ESPIRAL 

Curva abierta y plana generada por el movimiento de un punto que se aleja de otro u otros fijos denominados centros y que puede estar constituida por arcos de circunferencia enlazados entre sí y de radios gradualmente mayores (voluta). 

Se denomina espira al fragmento de curva que describe el punto en una vuelta completa.Y las espiras contiguas distan entre sí una magnitud constante denominada paso.

Trazado espiral de dos centros conocido el paso:

Dados los dos centros A y B, se unen entre sí y se prolonga el segmento que determinan, esta recta será inicio y fin de los sucesivos arcos que determinan la espiral. La magnitud del paso es igual al doble de la magnitud del segmento AB.

Para trazarla, hacemos centro en A o B y describimos una semicircunferencia de radio AB que corta en C a la recta, cambiamos de centro (a B en la ilustración) y trazamos otra semicircunferencia con el mismo sentido y a continuación de la anterior, a partir de C, de radio BC y por tanto igual a P obteniendo en su intersección sobre la recta el punto D desde donde trazamos otra con centro en A y radio 3P/2 y así sucesivamente. Observaremos que el radio de las semicircunferencias aumenta P/2 en cada ocasión.

Trazado espiral de tres centros conocido el paso:

Construimos el triángulo equilátero ABC siendo la magnitud de su lado la tercera parte del paso dado P. A, B y C serán los centros de los sucesivos arcos. Prolongamos en un mismo sentido los tres lados del triángulo y hacemos centro en uno de los vértices, trazando un arco de radio P/3 (centro en A y radio AC), que corta a una de las prolongaciones en D (la primera prolongación interceptada BA). Con centro en el vértice adyacente en el mismo sentido que se trace el arco (B), se traza otro enlazado con el anterior y por tanto a partir del punto D hasta cortar a la prolongación siguiente y así sucesivamente. Los radios aumentan P/3 cada vez que trazamos un arco.

Trazado espiral de cuatro centros conocido el paso:

Dibujamos un cuadrado ABCD de lado P/4 siendo P el paso dado y procedemos de igual forma que en el ejercicio anterior. El radio de los arcos trazados aumenta P/4 en cada ocasión.

CURVAS COMPUESTAS: OVOIDE

OVOIDE

Es una curva cerrada y plana compuesta por dos arcos de circunferencia de igual radio, y otros dos de distinto radio, uno de ellos una semicircunferencia. Tiene un eje de simetría que contiene a los centros de los arcos desiguales. Se denomina diámetro en el ovoide al diámetro de la semicircunferencia normal al eje.

Trazado ovoide conociendo su eje:

Dado el eje AB lo dividimos en seis partes iguales siendo las partes 2ª y 5ª los centros O1 y O2 de la semicircunferencia y arco desigual. Con centro en la 2ª división y radio 2B, trazamos un arco que corta en O3 y O4, centros de los arcos iguales, a la prolongación del diámetro. El radio de la semicircunferencia es O1-A y sus extremos T1 y T2 puntos de enlace. El radio del arco desigual de centro O2 es O2-B. Para determinar los puntos de enlace T4 y T3 unimos O4 y O3 con O2 cortando en su prolongación al arco trazado con centro en O2. Los radios de los arcos iguales son O4-T4 o O3-T3.

Trazado ovoide conociendo su diámetro:

Dado el diámetro AB, su mediatriz determinará la ubicación del eje. Trazamos la semicircunferencia con centro O1, punto medio de AB y radio O1A y trasladamos la magnitud de este radio sobre el eje a partir de O1 quedando así determinado O4, centro del otro arco desigual. Los propios extremos A y B del diámetro dado son los centros O3 y O4 de los arcos iguales de radio AB. A y B son asimismo los puntos de enlace T3 y T2 de la semicircunferencia con sus arcos adyacentes, determinaremos los puntos de enlace T1 y T4 y el radio del arco desigual de centro O4 mediante los segmentos que unen los centros O3-O4 y O2-O4 y su intersección con los arcos iguales.

EJERCICIOS (DT II) TRAZADO CURVAS COMPUESTAS

CURVAS COMPUESTAS: ÓVALO

ÓVALO

Curva cerrada y plana compuesta por un número par de arcos de circunferencia enlazados entre sí y simétricos respecto sus ejes mayor y menor normales entre sí.

Trazado  óvalo conociendo el eje mayor:

Dado el eje mayor AB, lo dividimos en tres partes iguales. Por sus divisiones trazamos dos circunferencias O1 y O2 de radio la tercera parte del eje AB, estas se cortan en los puntos O3 y O4.

O1, O2, O3 y O4 son los centros de los cuatro arcos que compondrán el óvalo. Los arcos de centro O1 y O2 tienen como radio la tercera parte del eje mayor y son tangentes a las trazadas con centro en O3 y O4, los puntos de enlace T2, T4, T1 y T3 de las circunferencias O1 Y O2 con O3 y O4 respectivamente están donde los segmentos unión de centros correspondientes corten a las circunferencias de centros O1 y O2. El radio de los arcos de centro O3 y O4 será por tanto la distancia existente entre ellos y sus correspondientes puntos de enlace (O3-T2).

Trazado óvalo conociendo su eje menor:

Los extremos del eje menor dado serán centros de dos de los cuatro arcos de este óvalo (O3 y O4) y cuyo radio será igual al propio eje menor. Trazamos una circunferencia auxiliar de diámetro igual al eje menor dado que cortará a su mediatriz en los puntos O2 y O1, centros de los dos arcos restantes. Los puntos de enlace se calculan uniendo centros y con ellos los radios de los arcos de centros O1 y O2, arcos que cortarán a la mediatriz del eje menor en A y B, extremos del eje mayor.

Trazado óvalo conociendo sus dos ejes:

Dado el eje mayor AB y el menor CD, trasladamos sobre la prolongación del menor, la magnitud del semieje mayor, obteniendo el punto E. Con centro en el extremo C, trazamos un arco de radio CE que corta al segmento CA en X. La mediatriz de XA determina en su intersección con el eje mayor el punto O1, centro de uno de los arcos, su arco simétrico tendrá su centro O2 también sobre el eje mayor, a igual distancia de O y en sentido opuesto. Los radios de estos arcos los determinan las distancias a los extremos correspondientes del eje mayor AB.

La mediatriz de XA determina asimismo en su intersección sobre el eje menor o su prolongación el centro O4 y por simetría con respecto al eje mayor queda determinado O3. Los puntos de tangencia y los radios de los arcos de centros O3 y O4 se determinan como en ejercicios anteriores.

Óvalo inscrito en un rombo:

Este trazado podría sustituir, en perspectiva isométrica, la elipse por el óvalo.

Dado el rombo ABCD, trazamos desde los extremos de la diagonal menor, rectas normales a los lados del opuestos rombo obteniendo T1, T2, T3 y T4, puntos de enlace de los arcos de centros O1 y O2, situados en las intersecciones de las normales trazadas. C y D son los centros de los arcos restantes. Los radios de los arcos quedan determinados por las distancias de los centros a los puntos de enlace correspondientes (O1-T1).

Tangentes en la HIPÉRBOLA

Recta tangente y normal en un punto de la hipérbola.

La tangente a la hipérbola en un punto de ella P, es la bisectriz del ángulo que forman los radios vectores en dicho punto. La normal (N) en P, es la perpendicular a la tangente en dicho punto.

Rectas tangentes a la hipérbola desde un punto exterior.

Esta construcción se basa en la definición de circunferencia focal, como el lugar geométrico de los puntos simétricos del otro foco, respecto a las tangentes a la hipérbola.

Dado el punto P exterior a la hipérbola, comenzaremos trazando la circunferencia focal de centro en F’, y a continuación la circunferencia de centro en P, y radio P–F, la cual corta a la focal anterior, en los puntos F1 y F2. Dichos puntos son los simétricos del F respecto a las tangentes a la hipérbola desde el punto P.

Solo resta trazar las mediatrices de los segmentos F–F1 y F–F2, obteniendo así las rectas t1 y t2 que serán las tangentes a la hipérbola buscadas.

Para determinar los puntos de tangencia, trazaremos las rectas F’–F1 y F’–F2, que determinarán sobre las tangentes t1 y t2, los puntos T1 y T2, puntos de tangencia buscados.

Tangentes en la PARÁBOLA

Recta tangente y normal en un punto de la parábola.

La tangente a la parábola en un punto de ella P, es la bisectriz del ángulo que forman los radios vectores en dicho punto.
La normal (N) en P, es la perpendicular a la tangente en dicho punto.

Rectas tangentes a la parábola desde un punto exterior.

Esta construcción se basa en la definición de circunferencia focal (directriz), como el lugar geométrico de los puntos simétricos del otro foco, respecto a las tangentes a la parábola.

Dado el punto P exterior a la parábola, comenzaremos trazando la circunferencia de centro en P, y radio P–F, la cual corta a la focal (directriz), en los puntos F1 y F2. Dichos puntos son los simétricos del F respecto a las tangentes a la parábola desde el punto P.

Solo resta trazar las mediatrices de los segmentos F–F1 y F–F2, obteniendo así las rectas t1 y t2 que serán las tangentes a la parábola buscadas.

Para determinar los puntos de tangencia, trazaremos las rectas por F1 y F2, rectas paralelas al eje de la curva, que determinarán sobre las tangentes t1 y t2, los puntos T1 y T2, puntos de tangencia buscados.

Tangentes en la ELIPSE

RECTAS TANGENTES Y NORMAL A UNA ELIPSE

La tangente a la elipse en un punto de ella P, es la bisectriz del ángulo exterior que forman los radios vectores en dicho punto. La normal (N) en P, es la perpendicular a la tangente en dicho punto, también bisctriz del ángulo interior de los radios vectores.

La tangente a una elipse desde un punto exterior, se determina por la aplicación de la circunferencia Focal. Para ello trazamos una circunferencia auxiliar de centro en el punto P exterior dado y radio PF1 o PF2 (foco más cercano) que cortará a la circunferencia focal de centro el foco más alejado correspondiente en los puntos X e Y. Si trabajamos con la circunferencia focal de centro F1, las mediatrices de los segmentos XF2 y XF1 son las rectas tangentes de la elipse desde P buscadas. Los puntos de tangencia T1 y T2 de estas tangentes, con la elipse, están en la intersección de los segmentos F1X y F2X (radios vectores) con la propia elipse. 

EJERCICIOS (DT II) TRAZADO CURVAS CÓNICAS

CONTROL 2.3 (DT II)