CONTROL 2.8 (DT II)

POTENCIA, EJE Y CENTRO RADICAL

Potencia de un punto P respecto de una circunferencia dada.

Las rectas tangentes o secantes trazadas a una circunferencia desde un punto P exterior, determinan punto comunes con la circunferencia con los que se establecen segmentos en los que siempre se verifica que: PA x PB = PC x PD = PT x PT = PT2 = K.

A este producto constante (K) se le denomina POTENCIA del punto P respecto a la circunferencia.

Cuando el punto es interior la potencia es negativa.

Eje radical
Lugar geométrico de los puntos que tienen igual potencia respecto a dos circunferencias. (Cada punto tendrá diferente potencia que el contiguo pero igual respecto a las dos circunferencias)

El eje radical es siempre perpendicular al segmento que une los centros de las circunferencias.

Eje radical de dos circunferencias secantes:

Los puntos comunes (X e Y) de las dos circunferencias secantes tienen igual potencia respecto a las mismas luego pertenecen al eje radical. Uniendo X e Y obtenemos dicho eje, eje que es efectivamente perpendicular al segmento O1-O2. 

La potencia de los puntos X e Y respecto de las circunferencias es NULA. Pero podemos comprobar como desde un punto P del eje radical se cumple: PA x PB = PC x PD.

Eje radical de dos circunferencias tangentes:

La recta tangente común es el eje radical de las dos circunferencias, y como podemos comprobar, es perpendicular al segmento unión de centros O1-O2.

Eje radical de dos circunferencias exteriores:
El eje radical de dos circunferencias dadas exteriores es la recta definida por los puntos medios de los  segmentos definidos entre los puntos de tangencia de las rectas tangentes comunes exteriores a ambas circunferencias.

Centro radical de tres circunferencias dadas.Se llama centro radical de tres circunferencias dadas al punto de intersección de sus ejes radicales correspondientes. Basta para obtenerlo trazar al menos dos de los ejes radicales de las tres circunferencias que se obtienen según los métodos descritos.

POLAR Y POLARIDAD

Se denomina POLAR respecto a un punto fijo A (POLO) y una circunferencia de centro O (CÍRCULO DIRECTOR) a la recta cuya característica principal es ser  EJE RADICAL  de dos circunferencias, la del circulo director y la trazada con diámetro OA. 

PPROPORCIONALIDAD: media y tercera proporcional a dos segmentos

Teorema de Thales:

"Un sistema de rectas paralelas dispuesto sobre dos concurrentes, produce segmentos iguales y/o proporcionales"

Proporcionalidad:

Es la relación de igualdad existente entre dos razones, y la razón es la relación entre dos magnitudes.

Dados dos segmentos m y n, la razón es la relación entre las longitudes de ambos segmentos. Dados cuatro segmentos (m, n, m´y n´) tomados dos a dos, se dice que son proporcionales si las razones son iguales: m/ n = m´/n´

División de un segmento en partes iguales:

A partir de un extremo de un segmento, se traza una semirrecta sobre la que se marcan tantas divisiones iguales como partes en las que se quiera dividir el segmento. Unimos el último punto con el extremo del segmento y se trazan paralelas a esta recta por las divisiones obtenidas quedando así el segmento dividido en partes iguales .

División de un segmento en partes proporcionales:

Se procede del mismo modo pero ahora las divisiones no son iguales. Las divisiones así obtenidas en el segmento mantendrán la misma proporción entre ellas que las dibujadas en la semirrecta trazada.

Media proporcional  de dos segmentos:

Dados dos segmentos a y b, se denomina media proporcional al segmento c, si cumple: a/c=c/b. También se observa que: a·b=c2; c=√a·b.

Situamos los dos segmentos dados uno a continuación del otro. Se traza una semicircunferencia de centro en M, punto medio de la suma de a y b . Por el punto de contacto de los segmentos trazamos una perpendicular a estos que corta a la circunferencia y obtenemos la media proporcional buscada c.

trazado media proporcional ( Mongge)

Tercera proporcional de dos segmentos:

Dados 2 segmentos a y b, um segmento  c es tercera proporcional si se cumple que: a/b=b/c.  Para ello trazamos dos semirrectas r y s con origen común llevando a y b a una de ellas desde el punto de intersección y b a la otra. Trazamos una paralela por el extremo b de la primera semirrecta a la unión de los otros dos extremos.

trazado tercera proporcional (Mongge)