CURVAS CÓNICAS: HIPÉRBOLA

 Trazado de una HIPÉRBOLA conociendo sus ejes, método de localización de PUNTOS.

Recta tangente y normal en un punto de la hipérbola.

La tangente a la hipérbola en un punto de ella P, es la bisectriz del ángulo que forman los radios vectores en dicho punto. La normal (N) en P, es la perpendicular a la tangente en dicho punto.

Rectas tangentes a la hipérbola desde un punto exterior.

Esta construcción se basa en la definición de circunferencia focal, como el lugar geométrico de los puntos simétricos del otro foco, respecto a las tangentes a la hipérbola.

Dado el punto P exterior a la hipérbola, comenzaremos trazando la circunferencia focal de centro en F’, y a continuación la circunferencia de centro en P, y radio P–F, la cual corta a la focal anterior, en los puntos F1 y F2. Dichos puntos son los simétricos del F respecto a las tangentes a la hipérbola desde el punto P.

Solo resta trazar las mediatrices de los segmentos F–F1 y F–F2, obteniendo así las rectas t1 y t2 que serán las tangentes a la hipérbola buscadas.

Para determinar los puntos de tangencia, trazaremos las rectas F’–F1 y F’–F2, que determinarán sobre las tangentes t1 y t2, los puntos T1 y T2, puntos de tangencia buscados.

CURVAS CÓNICAS: PARÁBOLA

Trazado de una PARÁBOLA conociendo sus ejes, método de localización de PUNTOS.

Recta tangente y normal en un punto de la parábola.

La tangente a la parábola en un punto de ella P, es la bisectriz del ángulo que forman los radios vectores en dicho punto.
La normal (N) en P, es la perpendicular a la tangente en dicho punto.

Rectas tangentes a la parábola desde un punto exterior.

Esta construcción se basa en la definición de circunferencia focal (directriz), como el lugar geométrico de los puntos simétricos del otro foco, respecto a las tangentes a la parábola.

Dado el punto P exterior a la parábola, comenzaremos trazando la circunferencia de centro en P, y radio P–F, la cual corta a la focal (directriz), en los puntos F1 y F2. Dichos puntos son los simétricos del F respecto a las tangentes a la parábola desde el punto P.

Solo resta trazar las mediatrices de los segmentos F–F1 y F–F2, obteniendo así las rectas t1 y t2 que serán las tangentes a la parábola buscadas.

Para determinar los puntos de tangencia, trazaremos las rectas por F1 y F2, rectas paralelas al eje de la curva, que determinarán sobre las tangentes t1 y t2, los puntos T1 y T2, puntos de tangencia buscados.

 

CURVAS CÓNICAS: ELIPSE

 Trazado de una elipse conociendo sus ejes, método de localización de PUNTOS.

Trazado de una elipse conociendo sus ejes, método por afinidad- CIRCUNFERENCIAS- 

Trazado de una elipse conociendo dos diámetros congujados

RECTAS TANGENTES Y NORMAL A UNA ELIPSE

La tangente a la elipse en un punto de ella P, es la bisectriz del ángulo exterior que forman los radios vectores en dicho punto. La normal (N) en P, es la perpendicular a la tangente en dicho punto, también bisctriz del ángulo interior de los radios vectores.

Trazado de la tangente a una elipse por un punto dado de la curva (circunferencia focal).

La tangente a una elipse desde un punto exterior, se determina por la aplicación de la circunferencia Focal. Para ello trazamos una circunferencia auxiliar de centro en el punto P exterior dado y radio PF1 o PF2 (foco más cercano) que cortará a la circunferencia focal de centro el foco más alejado correspondiente en los puntos X e Y. Si trabajamos con la circunferencia focal de centro F1, las mediatrices de los segmentos XF2 y XF1 son las rectas tangentes de la elipse desde P buscadas. Los puntos de tangencia T1 y T2 de estas tangentes, con la elipse, están en la intersección de los segmentos F1X y F2X (radios vectores) con la propia elipse. 

ESCALAS

La escala es la relación existente entre la medida del dibujo y la medida del objeto real, un método matemático-gráfico que nos permite dibujar cualquier objeto más grande o más pequeño de lo que en la realidad es. 

TIPOS DE ESCALAS

Escala natural: El dibujo es igual a la realidad.

Escala de reducción: El dibujo es más pequeño que la realidad. 

Escalas de ampliación: El dibujo es más grande que la realidad. 

ESCALA NUMÉRICA       

            

La escala se define por un número fraccionario que determinan la  proporción entre el dibujo y la realidad.

E=D:R

El primer número de la proporción se refiere al dibujo.

El segundo número de la proporción se refiere a la realidad.

En la escala natural, E= 1:1, el primer número es igual que el segundo. 

En las escalas de reducción, el primer número es menor que el segundo. Por tanto, las escalas adoptarán las siguientes posibles formas: 1:2, 1:3, 2:3, 1:10, 1:200, etc.

En las escalas de ampliación, el primer número es mayor que el segundo. Tendrán el siguiente aspecto: 2:1, 5:1, 4:3, 10:3.

Tanto las unas como las otras pueden venir representadas con dos puntos (E=2:1)  o con una barra entre ambos valores (E=2/1).

ESCALA GRÁFICA

Para trazar una escala gráfica utilizaremos el método basado en el Teorema de Thales.

Dibujaremos dos líneas formando un ángulo cualquiera. Para hacerlo lo más claro posible escribiremos en una de ellas “DIBUJO” y en la otra “REALIDAD”. Sobre la línea del “dibujo” marcaremos los centímetros indicados por el primer número de la escala, empezando desde el punto de corte de ambas rectas. Sobre la línea “realidad” marcaremos los centímetros del segundo número de la escala.

Para ello si nos piden que lo dibujemos a escala 1:3, pondremos 1 cm sobre la línea de dibujo y 3 cm sobre la línea de la realidad y unimos esos dos puntos con una recta.

Ahora marcaremos cada centímetro sobre la recta de la realidad y trazaremos rectas paralelas a la anterior recta obtenida. Así obtendremos los centímetros en escala. 

ESCALA GRÁFICA ISOMÉTRICA

 Para dibujar en perspectiva axonométrica isométrica se hace imprescindible recurrir a la utilización de la escala gráfica de la reducción isométrica.

Para ello podemos tener en cuenta que su construcción derivaría de la utilización del triángulo de trazas, obtenido por un plano paralelo al P.C. secante a la posición espacial del triedro definido por sus ejes. El abatimiento del triangulo de trazas sobre el P.C. nos daría la posibilidad de dibujar en verdadera magnitud lo que luego serían proyecciones de una vista (afinidad). Lo que nos permitiría calcular gráficamente la reducción en isométrica o en cualquier sistema axonométrico.

CONSTRUCCIÓN DE UNA ESCALA GRÁFICA VOLANTE DE REDUCCIÓN ISOMÉTRICA.

Sobre un punto de una recta horizontal cualquiera, trazamos dos rectas auxiliares, una a 45º y otra a 30º. Midiendo desde el vértice, sobre la primera estableceríamos las magnitudes reales que al cortar perpendicularmente a la otra, nos proporcionarían las medidas reducidas.

CONTROL 3.2

 

CONTROL 3.1