Resolución de tangencias

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Problemas de tangencias aplicando las propiedades de los ejes y centros radicales, indicando gráficamente la construcción auxiliar utilizada, los puntos de enlace y la relación entre sus elementos.

1. Circunferencia tangente a otras dos dado el punto de tangencia sobre una de ellas. (Geogebra)

https://www.slideshare.net/naonito/circunferencias-tangentes-a-otras-dos-dado-el-punto-de-tangencia-en-una-de-ellaspor-potencia

Las circunferencias solución deberán tener la misma potencia que las dadas respecto de un centro radical, que debe permanecer, forzosamente, al eje radical de las dadas. Puesto que las soluciones deben ser tangentes a la circunferencia con el punto de tangencia dado, el eje radical correspondiente a dichas soluciones será además tangente en ese punto de tangencia. En la intersección de ambos lugares se encontrará el centro radical, a partir del cual será sencillo determinar los puntos de tangencia.

2. Trazar las circunferencias tangentes a una recta, que pasen por dos puntos. Geogebra

Los centros solución han de estar sobre la mediatriz de los puntos dados.

Hallaremos un punto P en r, que pertenece al eje radical de las soluciones.  P tiene la misma potencia respecto de una circunferencia cualquiera auxiliar que pasa por AB, que respecto de las soluciones.

3. Circunferencias tangentes a dos rectas y que pasen por un punto (Geogebra)

Los centros estarán situados sobre la bisectriz.

Determinamos un punto P´simétrico de P respecto a la bisectriz. De esta forma se resuelve el problema reduciéndolo al caso anterior.

Este problema también se puede resolver por homotecia o inversión (Mongge):

4. Circunferencias tangentes a un circunferencia dada y que pasan por dos puntos:

En este caso, los puntos podrán ser interiores o exteriores a la circunferencia dada. Veamos el caso cuando los puntos son exteriores:

Ver en Geogebra

A continuación, el caso cuando los puntos son interiores.

Por AB, pasa el eje radical de las circunferencias solución. Y en la mediatriz estarán sus centros. Bastará dibujar una circunferencia auxiliar secante con la dada para determinar el eje radical que comparte la dada con las soluciones. Donde se corten ambos ejes, se determinará un punto que tenga la misma potencia respecto de la dada y las soluciones.

5. Circunferencias tangentes a otra y a una recta, dado el punto de tangencia sobre la recta.

Utilizando una circunferencia auxiliar tangente a r en T, y secante a la circunferencia dada, se determina un punto en r que tiene la misma potencia  respecto de la circunferencia dada que las soluciones. Los centros buscados están en la perpendicular a r que pasa por T.

6. Circunferencia tangente a otra en un punto de ella y a una recta dada.

La recta tangente a la circunferencia por el punto dado es el eje radical que pertenece a las soluciones buscadas y a la dada. Donde corte este eje a r será el centro radical de las tres circunferencias. Por tanto tiene la misma potencia de P a T que las los puntos de tangencia de las soluciones en r.

7. Circunferencias tangentes a otra y a dos rectas

Este problema se resuelve por dilataciones, reduciendo el problema al caso anterior nº 2. Las dilataciones deben emplearse adecuadamente para conseguir todos los resultados posibles. Hay que ampliar y reducir para obtener las circunferencias solución tangentes interiores y exteriores a la dada.

8. Circunferencias con centros sobre una recta r que pasan por un punto de ella y son tangentes a otra circunferencia dada.

Las tangentes común a las soluciones es una recta que pasa por P y es perpendicular a r (eje radical). Para determinar el centro radical se dibuja una circunferencia auxiliar con centro en r que pase por P y secante a la dada. 

9. Circunferencias con centro sobre una recta que pasan por un punto dado y son tangentes a otra circunferencia dada.

Por el simétrico de P respecto a r pasarán las circunferencias solución. Por lo que, de esta manera, se reduce el problema al caso nº 4: circunferencias que pasan por dos puntos y son tangentes a otra dada. 

10. Circunferencias con centros en una recta, tangentes a otras dos dadas.

Se resolverá aplicando lo dicho en el párrafo anterior y utilizando las dilataciones convenientes para reducir una de las dos circunferencias a un punto. Se deben tener en cuenta las soluciones tangentes interiores y exteriores.