Transformaciones geométricas: AFINIDAD

La Afinidad es la transformación geométrica, en la que a cada punto le hacemos corresponder otro punto, a cada recta, otra recta y, en general, a cada figura plana, otra figura plana.

Se puede considerar una variante de la Homología, en la que el centro o vértice se encuentra en el infinito, lo cual repercute en que las rectas que unen los puntos dados y los transformados (afines) sean paralelas entre sí.

En una afinidad se cumplen las siguientes condiciones:

• La recta que une dos puntos afines siempre es paralela a una dirección dada, la dirección de la afinidad.
• Dos rectas afines se cortan siempre en un punto de una recta fija llamada eje de la afinidad.

La mayoría de los ejercicios de afinidad se resuelven como una correspondencia gráfica, pero también se puede establecer una razón de la afinidad (k), constante que relaciona las longitudes de segmentos afines, y también es la relación entre los segmentos que unen puntos afines con el eje (siguiendo la dirección de la afinidad).

Así, si k = -1 y la dirección de afinidad es perpendicular al eje, la afinidad resultante sería una simetría axial.

AFINIDAD Y TRUCOS PARA RESOLVER EJERCICIOS

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Transformaciones geométricas: HOMOLOGÍA

La HOMOMOGÍA es una transformación geométrica espacial que relaciona figuras planas mediante las siguientes propiedades:

• Los puntos homólogos están alineados con un fijo llamado centro o vértice de homología .
• Las rectas homólogas se cortan en un punto de una recta fija llamada eje de la homología. Esta recta es la intersección de la prolongación de los lados de las figuras homólogas.

Elementos de la Homología:

• C es el centro de la Homología.
• Eje es la recta intersección de los dos planos α y β, en los que están las dos figuras homólogas.
• Rectas Límite: L (primera recta límite) es la recta del plano α cuyos homólogos están en el infinito (son impropios), y K (segunda recta límite) es la recta del plano β cuyos homólogos están en el infinito (son impropios). A estas rectas límites también se les identifica como RL y RL’.

Trazados de Homologías:

Para definir una homología plana, nos deben proporcionar los elementos mínimos que nos permitan obtener el centro, el eje y un par de puntos homólogos, lo que después posibilitará el hallar los homólogos del resto de los elementos de la figura, utilizando para ello las aristas de la figura o rectas auxiliares.

En los ejemplos siguientes se describen algunos procedimientos y las construcciones necesarios para ello.1.- Encontrar la homóloga r’ de una recta r, dados el centro C, el Eje y RL’:

2.- Encontrar el homólogo de un punto A, dado el centro de la homología C, el Eje y RL’:

3.- Encontrar la homóloga de una recta r paralela al eje, dado el centro C, el Eje y RL’:

4.- Encontrar las rectas límites de una homología, dado el centro C, el Eje y una pareja de puntos homólogos A y A’:

5.- Encontrar las rectas límites de una homología, dado el centro C, el Eje y una pareja de rectas homólogas r y r’: (La construcción es idéntica a la anterior. La paralela a una recta por el centro). 

6.- Encontrar los elementos de la homología dados tres pares de puntos homólogos A y A’, B y B’ y C y C’:

Homología de la circunferencia:
La homóloga de una circunferencia siempre es una curva cónica, pudiendo presentarse diferentes casos, según la relación de la curva con la recta límite. En cualquier caso, el centro de la circunferencia no se convierte en el centro de la cónica homóloga.

Si la primera recta límite no corta a la curva, la homóloga de la circunferencia es una elipse.

Si la primera recta límite es tangente a la curva, su homóloga es una parábola (ya que tiene un punto homólogo impropio).

Si la primera recta límite corta a la curva en dos puntos, su homóloga es una hipérbola, y cada una de las partes en que está dividida la circunferencia se convierte en una de las ramas de esa hipérbola.

Transformaciones geométricas: HOMOTECIA

 La HOMOTECIA es una transformación geométrica en el plano, en la cual los puntos relacionados o transformados, que se denominan homólogos u homotéticos, cumplen las siguientes condiciones:

• Los puntos homotéticos están alineados con un tercero fijo llamado centro de la Homotecia (O).
• La relación entre los segmentos definidos por este centro y los puntos transformado y original es una constante denominada razón de la homotecia (k).

Propiedades:

Rectas homotéticas siempre son paralelas, y proporcionales a la razón de la homotecia (k) y ángulos homotéticos son iguales.

Dos figuras homotéticas guardan relación de SEMEJANZA.

Casos:

• Si la constante k es mayor que 0, la Homotecia se denomina directa o positiva, y en ella los puntos homotéticos están al mismo lado del centro.

• Si la constante k es menor que 0,  se denomina inversa o negativa, y en ella los puntos homotéticos están en lados diferentes con respecto al centro .

• Si la constante k es 1, la figura homotética coincide con la original, y la transformación se denomina identidad.
• Si la constante k es -1, la Homotecia se convierte en una Simetría Central 

Resumiendo: 

- Si el valor absoluto de la constante k es mayor que 1, la Homotecia produce un aumento de tamaño (la figura final es mayor que la original).

- Si el valor absoluto de la constante k es menor que 1, la Homotecia produce una disminución de tamaño (la figura final es menor que la original).

Si pinchas en la imagen

 accederás a una demostración en GeoGebra

Homotecia de la circunferencia:

La homotética de una circunferencia es otra circunferencia cuyos centros también lo son, y cuyos puntos son homotéticos uno a uno.

Dadas dos circunferencias cualesquiera, siempre existen dos Homotecias que las relacionan, una de ellas directa y otra inversa. En cualquiera de los dos casos, el centro de la Homotecia está alineado con los dos centros de las circunferencias (en las figuras se muestran las homotecias directa e inversa que relacionan dos circunferencias).

CONTROL 3.3

 

CURVAS CÓNICAS: HIPÉRBOLA

 Trazado de una HIPÉRBOLA conociendo sus ejes, método de localización de PUNTOS.

Recta tangente y normal en un punto de la hipérbola.

La tangente a la hipérbola en un punto de ella P, es la bisectriz del ángulo que forman los radios vectores en dicho punto. La normal (N) en P, es la perpendicular a la tangente en dicho punto.

Rectas tangentes a la hipérbola desde un punto exterior.

Esta construcción se basa en la definición de circunferencia focal, como el lugar geométrico de los puntos simétricos del otro foco, respecto a las tangentes a la hipérbola.

Dado el punto P exterior a la hipérbola, comenzaremos trazando la circunferencia focal de centro en F’, y a continuación la circunferencia de centro en P, y radio P–F, la cual corta a la focal anterior, en los puntos F1 y F2. Dichos puntos son los simétricos del F respecto a las tangentes a la hipérbola desde el punto P.

Solo resta trazar las mediatrices de los segmentos F–F1 y F–F2, obteniendo así las rectas t1 y t2 que serán las tangentes a la hipérbola buscadas.

Para determinar los puntos de tangencia, trazaremos las rectas F’–F1 y F’–F2, que determinarán sobre las tangentes t1 y t2, los puntos T1 y T2, puntos de tangencia buscados.

CURVAS CÓNICAS: PARÁBOLA

Trazado de una PARÁBOLA conociendo sus ejes, método de localización de PUNTOS.

Recta tangente y normal en un punto de la parábola.

La tangente a la parábola en un punto de ella P, es la bisectriz del ángulo que forman los radios vectores en dicho punto.
La normal (N) en P, es la perpendicular a la tangente en dicho punto.

Rectas tangentes a la parábola desde un punto exterior.

Esta construcción se basa en la definición de circunferencia focal (directriz), como el lugar geométrico de los puntos simétricos del otro foco, respecto a las tangentes a la parábola.

Dado el punto P exterior a la parábola, comenzaremos trazando la circunferencia de centro en P, y radio P–F, la cual corta a la focal (directriz), en los puntos F1 y F2. Dichos puntos son los simétricos del F respecto a las tangentes a la parábola desde el punto P.

Solo resta trazar las mediatrices de los segmentos F–F1 y F–F2, obteniendo así las rectas t1 y t2 que serán las tangentes a la parábola buscadas.

Para determinar los puntos de tangencia, trazaremos las rectas por F1 y F2, rectas paralelas al eje de la curva, que determinarán sobre las tangentes t1 y t2, los puntos T1 y T2, puntos de tangencia buscados.

 

CURVAS CÓNICAS: ELIPSE

 Trazado de una elipse conociendo sus ejes, método de localización de PUNTOS.

Trazado de una elipse conociendo sus ejes, método por afinidad- CIRCUNFERENCIAS- 

Trazado de una elipse conociendo dos diámetros congujados

RECTAS TANGENTES Y NORMAL A UNA ELIPSE

La tangente a la elipse en un punto de ella P, es la bisectriz del ángulo exterior que forman los radios vectores en dicho punto. La normal (N) en P, es la perpendicular a la tangente en dicho punto, también bisctriz del ángulo interior de los radios vectores.

Trazado de la tangente a una elipse por un punto dado de la curva (circunferencia focal).

La tangente a una elipse desde un punto exterior, se determina por la aplicación de la circunferencia Focal. Para ello trazamos una circunferencia auxiliar de centro en el punto P exterior dado y radio PF1 o PF2 (foco más cercano) que cortará a la circunferencia focal de centro el foco más alejado correspondiente en los puntos X e Y. Si trabajamos con la circunferencia focal de centro F1, las mediatrices de los segmentos XF2 y XF1 son las rectas tangentes de la elipse desde P buscadas. Los puntos de tangencia T1 y T2 de estas tangentes, con la elipse, están en la intersección de los segmentos F1X y F2X (radios vectores) con la propia elipse. 

ESCALAS

La escala es la relación existente entre la medida del dibujo y la medida del objeto real, un método matemático-gráfico que nos permite dibujar cualquier objeto más grande o más pequeño de lo que en la realidad es. 

TIPOS DE ESCALAS

Escala natural: El dibujo es igual a la realidad.

Escala de reducción: El dibujo es más pequeño que la realidad. 

Escalas de ampliación: El dibujo es más grande que la realidad. 

ESCALA NUMÉRICA       

            

La escala se define por un número fraccionario que determinan la  proporción entre el dibujo y la realidad.

E=D:R

El primer número de la proporción se refiere al dibujo.

El segundo número de la proporción se refiere a la realidad.

En la escala natural, E= 1:1, el primer número es igual que el segundo. 

En las escalas de reducción, el primer número es menor que el segundo. Por tanto, las escalas adoptarán las siguientes posibles formas: 1:2, 1:3, 2:3, 1:10, 1:200, etc.

En las escalas de ampliación, el primer número es mayor que el segundo. Tendrán el siguiente aspecto: 2:1, 5:1, 4:3, 10:3.

Tanto las unas como las otras pueden venir representadas con dos puntos (E=2:1)  o con una barra entre ambos valores (E=2/1).

ESCALA GRÁFICA

Para trazar una escala gráfica utilizaremos el método basado en el Teorema de Thales.

Dibujaremos dos líneas formando un ángulo cualquiera. Para hacerlo lo más claro posible escribiremos en una de ellas “DIBUJO” y en la otra “REALIDAD”. Sobre la línea del “dibujo” marcaremos los centímetros indicados por el primer número de la escala, empezando desde el punto de corte de ambas rectas. Sobre la línea “realidad” marcaremos los centímetros del segundo número de la escala.

Para ello si nos piden que lo dibujemos a escala 1:3, pondremos 1 cm sobre la línea de dibujo y 3 cm sobre la línea de la realidad y unimos esos dos puntos con una recta.

Ahora marcaremos cada centímetro sobre la recta de la realidad y trazaremos rectas paralelas a la anterior recta obtenida. Así obtendremos los centímetros en escala. 

ESCALA GRÁFICA ISOMÉTRICA

 Para dibujar en perspectiva axonométrica isométrica se hace imprescindible recurrir a la utilización de la escala gráfica de la reducción isométrica.

Para ello podemos tener en cuenta que su construcción derivaría de la utilización del triángulo de trazas, obtenido por un plano paralelo al P.C. secante a la posición espacial del triedro definido por sus ejes. El abatimiento del triangulo de trazas sobre el P.C. nos daría la posibilidad de dibujar en verdadera magnitud lo que luego serían proyecciones de una vista (afinidad). Lo que nos permitiría calcular gráficamente la reducción en isométrica o en cualquier sistema axonométrico.

CONSTRUCCIÓN DE UNA ESCALA GRÁFICA VOLANTE DE REDUCCIÓN ISOMÉTRICA.

Sobre un punto de una recta horizontal cualquiera, trazamos dos rectas auxiliares, una a 45º y otra a 30º. Midiendo desde el vértice, sobre la primera estableceríamos las magnitudes reales que al cortar perpendicularmente a la otra, nos proporcionarían las medidas reducidas.

CONTROL 3.2

 

CONTROL 3.1