Transformaciones geométricas: HOMOLOGÍA

La HOMOMOGÍA es una transformación geométrica espacial que relaciona figuras planas mediante las siguientes propiedades:

• Los puntos homólogos están alineados con un fijo llamado centro o vértice de homología .
• Las rectas homólogas se cortan en un punto de una recta fija llamada eje de la homología. Esta recta es la intersección de la prolongación de los lados de las figuras homólogas.

Elementos de la Homología:

• C es el centro de la Homología.
• Eje es la recta intersección de los dos planos α y β, en los que están las dos figuras homólogas.
• Rectas Límite: L (primera recta límite) es la recta del plano α cuyos homólogos están en el infinito (son impropios), y K (segunda recta límite) es la recta del plano β cuyos homólogos están en el infinito (son impropios). A estas rectas límites también se les identifica como RL y RL’.

Trazados de Homologías:

Para definir una homología plana, nos deben proporcionar los elementos mínimos que nos permitan obtener el centro, el eje y un par de puntos homólogos, lo que después posibilitará el hallar los homólogos del resto de los elementos de la figura, utilizando para ello las aristas de la figura o rectas auxiliares.

En los ejemplos siguientes se describen algunos procedimientos y las construcciones necesarios para ello.1.- Encontrar la homóloga r’ de una recta r, dados el centro C, el Eje y RL’:

2.- Encontrar el homólogo de un punto A, dado el centro de la homología C, el Eje y RL’:

3.- Encontrar la homóloga de una recta r paralela al eje, dado el centro C, el Eje y RL’:

4.- Encontrar las rectas límites de una homología, dado el centro C, el Eje y una pareja de puntos homólogos A y A’:

5.- Encontrar las rectas límites de una homología, dado el centro C, el Eje y una pareja de rectas homólogas r y r’: (La construcción es idéntica a la anterior. La paralela a una recta por el centro). 

6.- Encontrar los elementos de la homología dados tres pares de puntos homólogos A y A’, B y B’ y C y C’:

Homología de la circunferencia:
La homóloga de una circunferencia siempre es una curva cónica, pudiendo presentarse diferentes casos, según la relación de la curva con la recta límite. En cualquier caso, el centro de la circunferencia no se convierte en el centro de la cónica homóloga.

Si la primera recta límite no corta a la curva, la homóloga de la circunferencia es una elipse.

Si la primera recta límite es tangente a la curva, su homóloga es una parábola (ya que tiene un punto homólogo impropio).

Si la primera recta límite corta a la curva en dos puntos, su homóloga es una hipérbola, y cada una de las partes en que está dividida la circunferencia se convierte en una de las ramas de esa hipérbola.